Estabilidad numérica de un método local integral basado en funciones de base radial para problemas de valores de contorno

Tesis

Resumen *

El Método de Elementos de Contorno (MEC) es una técnica numérica reconocida en la matemática aplicada y las ingenierı́as desde hace más de 50 años. La base de este método es transformar una ecuación en derivadas parciales (EDP) que describa un problema fı́sico en una ecuación integral equivalente haciendo uso de las identidades de Green y teoremas de representación. Una mejora de este método ha sido el método de elementos de frontera local, en el cual en vez de usar una interpolación directa del campo desconocido la EDP y las condiciones de frontera son incluidas en las interpolaciones locales. En este tipo de método local, el dominio es cubierto por una serie de esténciles de interpolación pequeños y fuertemente solapados, donde una interpolación directa del campo se usa para aproximar la solución y las condiciones de borde se imponen en la representación integral. La ventaja reside en que, en vez de tratar con matrices globales llenas, los sistemas de ecuaciones locales resultan pequeños y se ensamblan en un sistema ralo con estructura de banda que se resuelve por esquemas iterativos.Para conservar la naturaleza del MEC, las integrales de domino son transformadas en integrales de contorno por el Método de Reciprocidad Dual (MRD). Un ejemplo de esto es el reciente Método de Reciprocidad Dual-Regular Local (MRD-RL). En esta tesis desarrollamos el Método de Integral Local de Frontera y Dominio (MILFD) que utiliza unaformulación integral que depende de integrales de frontera y también de dominio colocadas solamente en puntos interiores de la distribución de nodos en el dominio. Esta formulación utiliza la función de Green-Dirichlet (FGD) para evitar el cálculo de algunas integrales de dominio y las condiciones de frontera son impuestas a la interpolación local con Funciones de Base Radial (FBR).La teorı́a de FBR tuvo un desarrollo considerable en los últimos años debido a su alto orden de exactitud, flexibilidad para geometrı́as no triviales, eficiencia computacional y facilidad de implementación. Cuando se utilizan FBR infinitamente diferenciables, estasdependen de un parámetro de forma ε > 0. Fue demostrada la convergencia espectral envarios casos, sin embargo, la experimentación numérica mostró que cuando ε→0 el errorde interpolación decrece hasta cierto valor a partir del cual se desestabiliza debido al malcondicionamiento de la matriz de interpolación. Desde entonces, distintas técnicas de estabilidad han sido investigadas y desarrolladas para interpolaciones globales: Countor-Padé, FBR-QR, Gauss-QR, FBR-GA, FBR-RA. Estas técnicas abrieron nuevas posibilidades para métodos sin mallas basados en interpolaciones locales con FBR.El objetivo principal de nuestro trabajo consiste en estabilizar el error de un métodolocal integral para resolver EDP a partir de lograr estabilizar el error en las interpolacioneslocales cuando el parámetro de forma tiende a cero y evitar el mal condicionamiento de los sistemas locales. Este será nuestra hipótesis de trabajo.Los resultados numéricos mostrados en dos dimensiones para problemas de Laplace,Poisson, convección-difusión, capa lı́mite y un ecuación elı́ptica general con condicionesde Dirichlet/Neumann. Todas estas experiencias muestran una mejora considerable en los errores numéricos cuando el parámetro se reduce y, consecuentemente, una mejora en la exactitud del cálculo. Además, comparaciones con otros métodos numéricos de la literatura cientı́fica reafirman la robustez del método. Información suministrada por el agente en SIGEVA