Soluciones Oscilatorias en Ecuaciones Diferenciales con Retardo

Tesis

Resumen *

Las ecuaciones diferenciales con retardo son utilizadas frecuentemente para modelarproblemas en física, ingeniería o biolog´ıa entre otros. Estas ecuaciones son unejemplo de ecuaciones diferenciales funcionales y la complejidad que presentan sussoluciones es mucho mayor que la observada en ecuaciones diferenciales ordinarias,incluso para ecuaciones de primer orden. Por la dependencia temporal con el retardo,una solución queda determinada a partir de una función inicial definida en unintervalo de tiempo, el problema que resulta es infinito-dimensional.Muchas herramientas teóricas conocidas para el estudio de ecuaciones diferencialesordinarias se adaptan o generalizan para el estudio de ecuaciones diferencialescon retardo. Es especialmente interesante, tanto desde el punto de vista teórico comopráctico, el estudio de soluciones oscilatorias en este tipo de ecuaciones. A lolargo de esta tesis desarrollamos metodologías que nos permite calcular solucionesperiódicas y determinar su comportamiento dinámico.La primer metodología presentada en esta tesis combina la utilización del métodode análisis homotópico y un método de colocación para calcular la estabilidad delos ciclos periódicos existentes. Las ventajas que presenta este procedimiento y lasdistintas adaptaciones que hemos realizado a los métodos, nos permiten describir escenariosdinámicos interesantes en distintas ecuaciones con retardo. En primer lugar,analizamos una ecuación de van der Pol realimentada con retardo, observamos distintasbifurcaciones y resonancias en las que intervienen uno o varios ciclos periódicos.Por otra parte, utilizamos el método de análisis homotópico como herramientateórica para probar la existencia de ramas de bifurcaciones de Hopf isocrónicas.Otro método que permite el estudio de soluciones oscilatorias en ecuaciones diferencialescon y sin retardo, es la metodología en frecuencia. En esta tesis presentamosuna metodología iterativa en frecuencia que generaliza los resultados existentes ypermite, utilizando teoría de singularidades, describir distintos escenarios dinámicosrelacionados con bifurcaciones de Hopf generalizadas. Por último, usamos el métodoen frecuencia para estudiar sistemas discretos, demostramos la existencia de bifurcacionesde gran interés y determinamos en forma analítica la interacción de lasmismas. Información suministrada por el agente en SIGEVA